462 条公式示例库全览：19 个学科、4 个学阶的分类与数量表

462 条公式，按 19 个学科与 4 个学阶组织

公式示例库不是按章节排列的教科书，而是一份可以直接检索的清单：全部条目先按学科分成 19 组，每一条再标一个学阶标签，共四个学阶——初中、高中、大学、研究。之所以不拿学阶当分组，是因为高中条目占了将近四成，按学阶分会把列表切成长短悬殊的几段；「学科分组 + 学阶标签」既能按科目浏览，也保留了"中学老师一眼跳过微积分"的筛选手感。四个学阶的分布如下。

全量分布表：19 个学科 × 4 个学阶

下面这张表列出了全部 19 个学科分组，以及每个分组在四个学阶上的公式数量，最后一列是该学科的小计，最后一列之外的一行是各学阶的总数。不妨把学阶列当作难度刻度：初中列有数字的学科，说明它包含中学阶段的基础公式；研究列有数字的学科，说明它已经延伸到科研口径，例如微分方程、统计推断与信息论、流体力学与机器学习。

公式的门槛不在理解，而在记忆

用 LaTeX 排公式，难的不是数学，是写法。分数要写成 \frac{}{}，偏导要写 \partial，向量得加箭头 \vec{}，求和还要配上上下限。写一条两行的式子，往往要停下来查三四次语法，思路就断了。妙妙画布把"查语法"这一步直接搬进了画布：公式面板里预置了 462 条常用公式示例，按 19 个学科分组，从初中代数与几何、解析几何、三角函数与恒等变换，一直排到高等数学、线性代数、概率统计、物理、化学、金融经济与机器学习。绝大多数情况下，你要的公式已经在库里了。

选一条示例，公式就落到画布上

在左侧工具栏点 Σ 图标，右侧会滑出「插入公式」面板，从上到下分四块：公式示例、常用符号、LaTeX 公式、实时预览。最省事的用法是跳过手写——打开「公式示例」，从分组里挑一条，比如「质能方程」，下面的 LaTeX 输入框会自动填好，实时预览同步渲染出规范排版的公式。确认无误后点「插入公式」，它就以节点形式落在画布上，之后可以像别的节点一样拖动、缩放、复制，双击还能重新打开面板继续改。还有一处细节：选中的示例名会回显在「公式示例」框里，方便确认当前用的是哪一条；一旦手动改动了公式，它和示例不再一致，这个框会自动回到默认的提示状态，不会留下过期的名字。

三种检索方式：中文名、英文名、LaTeX 片段

「公式示例」框同时是一个搜索框，而且不必记住准确名字，三种输入都能命中。输入中文名「麦克斯韦」，立刻筛出「麦克斯韦速率分布」与「麦克斯韦方程组」两条；输入英文名 Maxwell，命中的是同两条；输入 LaTeX 片段（例如 \int），则把库里所有含积分的公式一次列出来，共 38 条。每条结果右侧标着所属分组和学段，初中、高中、大学还是研究，一眼就能判断是不是你要的那一档难度。什么都不输入时，下拉框按学科分组铺开全部 462 条，直接当目录翻也很快。

110 个符号与结构模板：按钮上画的就是它本身

记不住写法时，符号区比搜索更快。面板中间的「常用符号」一共 110 个按钮，分成五行：26 个小写希腊字母、11 个大写希腊字母、26 个运算与关系符（加减乘除、不等号、约等号、全称量词、逻辑连接词等）、18 个集合与微积分符号（属于、包含、并交、偏导、梯度、多重积分、求和与连乘）、11 个箭头与特殊关系（蕴含、等价、映射、垂直、平行）。关键在于按钮上显示的不是 \theta 这样的源码，而是 KaTeX 渲染出来的真实字形 θ——所见即所得，不用先猜再插。最后一行是 18 个结构模板：分数、根式、上下标、二项式系数、带上下限的求和与积分、极限、偏导、向量箭头，以及各种 hat、bar、dot 记号。点一下模板，它会追加到公式末尾并把光标停在第一对花括号里，接着敲内容就行；符号区固定 6 行高，超出部分在内部滚动，不会把面板越撑越长。

复杂公式是拼出来的：以麦克斯韦方程组为例

再复杂的式子也不是一次写完的，而是拼出来的。麦克斯韦方程组属于"库里已经有"的那一类——在示例框里搜「麦克斯韦」选中第二条，它的源码用的是一段 aligned 对齐环境，四条方程一次成型。如果库里没有，也照样能拼：点 ∇、点 ·、再点分数模板填入 ρ 与 ε₀，这一行同样能码出来。勾选「块级显示（居中，适合独立公式）」后插入，画布上就是教科书里的排版。

\begin{aligned}
\nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\varepsilon_0} \\
\nabla \cdot \vec{B} &= 0 \\
\nabla \times \vec{E} &= -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\
\nabla \times \vec{B} &= \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
\end{aligned}

一张画布，就是一整套板书

因为每个公式都是独立节点，一张画布可以同时排下多组式子，做课件、复习卡片或推导笔记都合适。下面这张板书记了五个不同领域的公式：左上麦克斯韦方程组，左下薛定谔方程，右侧自上而下是纳维-斯托克斯方程、欧拉-拉格朗日方程和中心极限定理。从电磁学到量子力学，从流体力学、分析力学到概率论，用法完全一致——搜示例或点符号拼出来，插入，再微调，其余四条式子的源码如下：

i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H}\psi

\rho\left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \vec{v} \cdot \nabla \vec{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}

\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) = 0

Z_n = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - n\mu}{\sqrt{n} \, \sigma} \xrightarrow{d} N(0, 1)

四条到手路径，按你的情况挑一条

总结一下公式库的用法：想不起名字就搜，中文名、英文名、LaTeX 片段都能查；知道大概分类就按学科分组翻；符号记不住就点「常用符号」里的按钮；结构不会写就用最后一行模板。462 条示例负责"常见的不用手写"，110 个符号与模板负责"少见的也能拼出来"，剩下真正要动脑的，就只有公式本身了。